カントールの対角線論法に納得いかない

今日は、カントールの対角線論法という無限に関する証明が私にはしっくりこなかったという話です。

離散数学のテストも終わり、あと残すは、、、２つだけなのですが、離散数学の勉強中「カントールの対角線論法」がしっくり来ていなかったので、それについて質問しに行きました。

ICUには、文系から理系に理転する人がいるため、数学の基礎をかなり手厚く見てくれます。

その一環として、１年生向けの数学の授業は、大学院生などが演習の授業をやってくれる授業も付いてくるのですが、数学全般を教えてくれる「Math Help Desk」というのもあります。

「Math Help Desk」というより「Math Rescue Desk」にカントールの対角線論法について聞きに行きました。

カントールの対角線論法とは...

１８９１年にゲオルク・カントールによって証明されたカントールの対角線論法は、簡単にいうと、無限である実数は数えられない。という理論です。

一見これは当たり前のような感じがしますが、「整数は無限であっても数えられる」と聞いたらどうでしょうか。

1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5...

このように無限であったとしても、全ての数がリストとして並べられて、数えられるというのです。

また、自然数の中には有理数と無理数がありますが、その有理数は数えられるとなっています。

ですが、無理数を数えようとすると無理がある、ということを証明したのがカントールの対角線論法です。

①実数は1,2,3,4,5,6,7...と無限にあるので、０から１のことは１から２、２から３と全てのことに適応されると仮定します。

②０から１の無限に連なる少数をリストにします。全ての実数がリストにあると仮定します。

③次に、このリストに入ってない新実数を作ります。

＜作り方＞上の図のように、並べられた実数の斜めに当てはまる数字に注目します。偶数なら１、奇数なら２。とりあえず、新実数には注目している数字がある行とは、その桁の数字を変えることで、別の実数を作ります。

そうして、作った新実数は、実数リストにない実数となる。

④こうすることでどのような場面でも新実数が作れてしまう。→「全ての実数を網羅した実数リストは作れる」という仮定が間違っている。（背理法）

⑤つまり、実数は数えられない！

え...?この証明おかしい。なんとなく直感的に思いました。

直後、Math Help Deskの人に無限は直感で考えちゃダメだよ。と言われてしまいましたが笑

カントールの対角線論法は、リストが不完全なんだ、という理由で否定する意見もあります。

私は、リストが不完全派です。

このカントールの対角線論法は魅力的なので、時間をかけて無限の勉強します。

カントールの対角線論法を否定する証明作ってみたいですね(^_^)ﾌﾌﾌ